Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，A（1，0）為定點，B為圓C上的動點，線段AB的垂直平分線交BC于點D，點D的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點p（0，2）作直線l交曲線E于M，N兩點，設線段MN的中垂線交y軸于點Q（0，m），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出動點D的軌跡是以點A（1，0）、C（-1，0）為焦點的橢圓，由此能求出曲線E的方程．
（Ⅱ）當l的斜率不存在時，線段MN的中垂線為x軸；當l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+2（k≠0），代入

x2

2

+y2=1，得：(

1

2

+k2)x2+4kx+3=0，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵線段AB的垂直平分線交BC于點D，∴BD|=|AD|．
又|BD|+|CD|=2

2

，|CD|+|AD|=2

2

＞2，
∴動點D的軌跡是以點A（1，0）、C（-1，0）為焦點的橢圓，
且橢圓的長軸長2a=2

2

，
焦距2c=2.a=

2

，c=1，b=1，
∴曲線E的方程為

x2

2

+y2=1．（6分）
（Ⅱ）①當l的斜率不存在時，線段MN的中垂線為x軸，m=0；（8分）
②當l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+2（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，得：(

1

2

+k2)x2+4kx+3=0，
由△＞0得，k2＞

3

2

（10分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-4k

1 2 +k2

，

x1+x2

2

=

-4k

1+2k2

，

y1+y2

2

=

kx1+2+kx2+2

2

=

2

2k2+1

，
∴線段MN的中點為（

-4k

1+2k2

，

2

2k2+1

），
中垂線方程為y-

2

2k2+1

=-

1

k

(x-

-4k

1+2k2

)，（12分）
令x=0，得y=

-2

2k2+1

=m，由k2＞

3

2

，得-

1

2

＜m＜0，
綜上，實數(shù)m的取值范圍是（-

1

2

，0]．（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意線段中垂直線定理的合理運用．