對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使?f(x0)?=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點，已知函數(shù)?f(x)?=ax2+?(b+1)x+(b-1)(a≠0).??

(1)當(dāng)a=1,b=-2時，求函數(shù)f(x)的不動點；?

(2)若對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；?

(3)在(2)的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點，且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

解析:（1）當(dāng)a=1,b=-2時，f(x)=x2-x-3.?

由題意可知x=x2-x-3,得x1=-1,x2=3.?

故當(dāng)a=1,b=-2時，f(x)的兩個不動點為(-1，-1)和(3,3).?

（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有兩個不動點，?

∴x=ax2+(b+1)x+(b-1),即ax2+bx+(b-1)=0恒有兩個相異的實數(shù)根，可知Δ=b2-4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是有Δ′=(4a)2-16a＜0,解之得?0＜a＜1.??

故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，a的取值范圍是0＜a＜1.?

（3）由題意，A、B兩點應(yīng)在直線y=x上，設(shè)A(x1,x1),?B(x2,x2).??

∵點A、B關(guān)于直線y=kx+對稱，

∴k=-1.?

設(shè)AB的中點為M(x′,y′),?

∵x1、x2是方程ax2+bx+(b-1)=0的兩個根,?

∴x′=y′= =-.于是，由M在直線y=-x+上，得-=+,即?

b=-=-.?

∵a＞0,

∴2a+ ≥2.?

當(dāng)且僅當(dāng)2a=,即a=∈(0,1)時取等號.?

故b≥-.∴bmin=-.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年黃岡中學(xué)一模理） (本小題滿分14分)對于函數(shù)f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動點. 如果函數(shù)有且僅有兩個不動點0，2，且

（1）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項不為零且不為1的數(shù)列{an}滿足，求證：；

（3）設(shè)，為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

       對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點  已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時，求f(x)的不動點；

（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點，且A、B關(guān)于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．如果函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個相異的不動點x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

對于函數(shù)f(x)，若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b(a＜b)，使當(dāng)x∈[a，b]時，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f(x)為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數(shù)的等域區(qū)間是         .

（2）若函數(shù)是布林函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是           .

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖南省華容縣高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分6分）對于函數(shù)f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(x0，x0)為函數(shù)的不動點，已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx-b有不動點(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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