Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex+sinx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=ax，F(xiàn)（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）若x=0是F（x）的極值點(diǎn)，且直線x=t（t≥0）分別與函數(shù)f（x）和g（x）的圖象交于P，Q，求P，Q兩點(diǎn)間的最短距離；
（2）若x≥0時(shí)，函數(shù)y=F（x）的圖象恒在y=F（﹣x）的圖象上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)镕（x）=ex+sinx﹣ax，所以F'（x）=ex+cosx﹣a，

因?yàn)閤=0是F（x）的極值點(diǎn)，所以F'（0）=1+1﹣a=0，a=2．

又當(dāng)a=2時(shí)，若x＜0，F(xiàn)'（x）=ex+cosx﹣a＜1+1﹣2=0，

所以F'（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，所以F'（x）＞F'（0）=1+1﹣2=0，所以x=0是F（x）的極小值點(diǎn)，

所以a=2符合題意，所以|PQ|=et+sint﹣2t．令h（x）=ex+sinx﹣2x，即h'（x）=ex+cosx﹣2，

因?yàn)閔'（x）=ex﹣sinx，當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞1，﹣1≤sinx≤1，

所以h'（x）=ex﹣sinx＞0，所以h'（x）=ex+cosx﹣2在（0，+∞）上遞增，

所以h'（x）=ex+cosx﹣2＞h'（0）=0，∴x∈[0，+∞）時(shí)，h（x）的最小值為h（0）=1，所以|PQ|min=1．

（2）解：令（x）=F（x）﹣F（﹣x）=ex﹣e﹣x+2sinx﹣2ax，

則'（x）=ex﹣e﹣x+2cosx﹣2a，S（x）='（x）=ex﹣e﹣x﹣2sinx，

因?yàn)镾'（x）=ex+e﹣x﹣2cosx≥0當(dāng)x≥0時(shí)恒成立，所以函數(shù)S（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴S（x）≥S（0）=0當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)恒成立；

故函數(shù)'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以'（x）≥'（0）=4﹣2a在x∈[0，+∞）時(shí)恒成立．

當(dāng)a≤2時(shí)，'（x）≥0，（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，即（x）≥（0）=0．

故a≤2時(shí)F（x）≥F（﹣x）恒成立．

當(dāng)a＞2時(shí)，因?yàn)?/span>'（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，

所以總存在x0∈（0，+∞），使（x）在區(qū)間[0，x0）上'（x）＜0，即（x）在區(qū)間[0，x0）上單調(diào)遞減，而（0）=0，

所以當(dāng)x∈[0，x0）時(shí)，（x）＜0，這與F（x）﹣F（﹣x）≥0對(duì)x∈[0，+∞）恒成立矛盾，

所以a＞2不符合題意，故符合條件的a的取值范圍是（﹣∞，2]．

【解析】（1）根據(jù)題意可知f（t）=g（t），令h（x）=ex+sinx﹣x（x≥0），求出其導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點(diǎn)間的最短距離．（2）令（x）=F（x）﹣F（﹣x）=ex﹣e﹣x+2sinx﹣2ax，函數(shù)y=F（x）的圖象恒在y=F（﹣x）的圖象上方，等價(jià)于（x）≥0恒成立，求出其導(dǎo)函數(shù)，可求出φ（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求得a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．