Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x+a）lnx在x=1處的切線方程為y=x﹣1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，如果在曲線C上存在點(diǎn)M（x0 ， y0），使得①x0= ；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F（x）存在“中值相依切線”．試證明：函數(shù)f（x）不存在“中值相依切線”．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+ ．

∴f′（1）=1+a，又f（1）=0，

∴函數(shù)f（x）=（x+a）lnx在x=1處的切線方程為y=（1+a）（x﹣1）=（1+a）x﹣1﹣a．

∴1+a=1，得a=0．

則f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1．

由f′（x）=lnx+1=0，得x= ．

∴當(dāng)x∈ 時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈ 時(shí)，f′（x）＞0．

∴f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值相依切線”．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線y=f（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x1＜x2，

則y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．

．

由f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，

可得1+ln = = ，

整理得： ，

令 （t＞1），則 ．

令g（t）= （t＞1），

則g′（t）= ，

令h（t）=2t﹣2﹣tlnt﹣lnt，h′（t）=2﹣lnt﹣1﹣ =1﹣lnt﹣ ，

再令r（t）=1﹣lnt﹣ ，

則r′（t）= ＜0，∴r（t）單調(diào)遞減，

由r（1）=0，∴h′（t）＜0，得h（t）單調(diào)遞減，

又h（1）=0，∴h（t）＜0，即g′（t）＜0在（1，+∞）上恒成立．

可得g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，則g（t）＜g（1）=﹣ln2．

∴ 不成立，

故假設(shè)錯(cuò)誤，函數(shù)f（x）不存在“中值相依切線”．

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1處的切線方程，結(jié)合已知切線方程求得a值，進(jìn)一步求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（x）存在“中值相依切線”．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線y=f（x）上的不同兩點(diǎn)，且0＜x1＜x2，則y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．求出kAB及f′（ ）．由題意列等式可得1+ln = = ，整理得： ，令 （t＞1）換元，則 ．令g（t）= （t＞1），利用導(dǎo)數(shù)求得g（t）的最小值小于1﹣ln2，說(shuō)明計(jì)算錯(cuò)誤，函數(shù)f（x）不存在“中值相依切線”．