Question

對給定的正整數(shù)n（n≥6），由不大于n的連續(xù)5個正整數(shù)的和組成集合A，由不大于n的連續(xù)6個正整數(shù)的和組成集合B，若集合A∩B的元素個數(shù)為2013，則n的最大值為

 

．

Answer 1

考點：交集及其運算,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可先對“不大于n的連續(xù)5個正整數(shù)的和”的特征進行研究，得到其個數(shù)、最小值、最大值的情況，再對“不大于n的連續(xù)6個正整數(shù)的和”進行相應(yīng)的研究，再根據(jù)“集合A∩B的元素個數(shù)為2013”，

解答： 解：∵給定的正整數(shù)n（n≥6），
∴由不大于n的連續(xù)5個正整數(shù)的和分別有：
1+2+3+4+5，2+3+4+5+6，3+4+5+6+7，…，（n-4）+（n-3）+（n-2）+（n-1）+n．
即15，20，25，30，…，5n-10．
構(gòu)成一個等差數(shù)列，首項為15，公差為5，
∴通項公式為：a_p=15+5（p-1）=5p+10，其中p=1，2，3，…，（n-4）．
∵給定的正整數(shù)n（n≥6），
∴由不大于n的連續(xù)6個正整數(shù)的和分別有：
1+2+3+4+5+6，2+3+4+5+6+7，3+4+5+6+7+8，…，（n-5）+（n-4）+（n-3）+（n-2）+（n-1）+n．
構(gòu)成一個等差數(shù)列，首項為21，公差為6，
∴通項公式為：a_q=21+6（q-1）=6q+15，其中q=1，2，3，…，（n-5）．
∵由不大于n的連續(xù)5個正整數(shù)的和組成集合A，由不大于n的連續(xù)6個正整數(shù)的和組成集合B，
∴集合A中的元素個數(shù)為n-4，集合B中的元素個數(shù)為n-5．
設(shè)集合A、B的公共元素有m個，
∵集合A∩B的元素個數(shù)為2013，
∴n-4+n-5-m=2013，
∴2n-m=2022．①
∵集合A、B的公共元素滿足條件：5p+10=6q+15，
∴p=

6

5

q+1，
∴q能被5整除，
∴q=5m，p=6m+1，
∴

5m≤n-5 6m+1≤n-4

，
∴n≥6m+5，
即m≤

1

6

n-

5

6

．②
由①②得：n≤1102．
當(dāng)n=1102時，m=182，適合題意．
故答案為：1102．

點評：本題通過對數(shù)列特征的研究，從而得到兩個等差數(shù)列的首項、公差，通過對公共項的研究得到集合A∩B的元素個數(shù)，本題難度較大，屬于難題．