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已知函數f(x)=ax3+
3
2
bx2-6x+1,f′(-1)=0,f′(2)=0

(I)求函數f(x)的解析式.
(II)對于?x1、x2∈[0,3],求證|f(x1)-f(x2)|≤10.
考點:利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,導數的運算
專題:綜合題,導數的概念及應用
分析:(I)求導數,利用條件,列出方程,即可求函數f(x)的解析式;
(II)求出函數的最大值與最小值,即可證明結論.
解答: (I)解:f'(x)=3ax2+3bx-6,
f′(-1)=0
f′(2)=0
3a-3b-6=0
12a+6b-6=0
,
a=1
b=-1

f(x)=x3-
3
2
x2-6x+1
…(6分)
(II)證明:由(I)f'(x)=3x2-3x-6,
f'(x)=0得x=-1,x=2…(7分)
f(x)與f'(x)在[0,3]上的情況如下
x0(0,2)2(2,3)3
f'(x)-0+
f(x)1-9-
7
2
∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)=-9…(9分)
∴|f(x1)-f(x2)|≤10…(12分)
點評:本題主要考查了利用導數研究函數的最值,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

若x∈(0,1),則下列結論正確的是( 。
A、lgx>x
1
2
>ex
B、ex>lgx>x
1
2
C、exx
1
2
>lgx
D、x
1
2
>ex>lgx

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科目:高中數學 來源: 題型:

設偶函數f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上單調遞增,則f(a+1)與f(b-2)的大小關系為( 。
A、f(a+1)=f(b-2)
B、f(a+1)≤f(b-2)
C、f(a+1)>f(b-2)
D、f(a+1)<f(b-2)

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科目:高中數學 來源: 題型:

若f(x)=-x2+2ax與g(x)=
a-3
x+1
在區(qū)間[1,2]上都是增函數,則a的取值范圍是( 。
A、[2,+∞)
B、(-∞,3)
C、(-∞,3)∪[2,+∞)
D、[2,3)

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科目:高中數學 來源: 題型:

設a∈R,函數f(x)=lnx-ax.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點P(1,-2)處的切線方程;
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(3)當a>0時,求函數f(x)在[1,2]上的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

A、B是單位圓O上的動點,且A、B分別在第一、二象限.C是圓O與x軸正半軸的交點,△AOB為正三角形.記∠AOC=α.
(1)若A點的坐標為(
3
5
,
4
5
),求
3-cos2α+sinαcosα
1+sin2α
的值;
(2)求|BC|2的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知⊙O是四邊形ABCD的外接圓,AD=BC,E是AB延長線上一點,且BE×DC=AD×BC.
(Ⅰ)證明:AB∥CD;
(Ⅱ)求∠OCE的度數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x3+3bx2+3cx的兩個極值點為x1,x2,x1∈[-1,0],x2∈[1,2].證明:0≤f(x1)≤
7
2
,-10≤f(x2)≤-
1
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1
3
x3+
1
2
mx2+nx
,x∈R.
(1)若g(x)是f(x)的導函數,且g(x)滿足:對于任意x∈R都有g(-
1
2
+x)=g(-
1
2
-x)
,且g(x)≥2x,求n的取值范圍.
(2)當n=0,且m<0時,求f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

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