Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，-2）處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出f′（1）=-1，得到切線方程．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）分a≥1、0＜a≤

1

2

和

1

2

＜a＜1三種情況加以討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的大小比較，即可得到當(dāng)0＜a＜ln 2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是-a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是ln2-2a．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f′（1）=1-2=-1，則切線方程為y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0
（2）函數(shù)f（x）的定義域 為（0，+∞）．f′（x）=

1-ax

x

因?yàn)閍＞0，令f′（x）=0，可得x=

1

a

；
當(dāng)0＜x＜

1

a

時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞

1

a

時(shí)，f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

a

，+∞）．
（3）①當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（
②當(dāng)

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．
③當(dāng)1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，

1

a

）上是增函數(shù)，在（

1

a

，2）上是減函數(shù)．
又∵f（2）-f（1）=ln2-a，
∴當(dāng)

1

2

＜a＜ln 2時(shí)，f（x）的最小值是f（1）=-a；
當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，f（x）的最小值為f（2）=ln2-2a．
綜上可知，當(dāng)0＜a＜ln 2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)的函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上最值求法等知識(shí)，屬于難題．