已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A,曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.
(Ⅰ)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(Ⅱ)證明:當(dāng)x>0時(shí),ex>x2
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a,再利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x2,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值,即可得出結(jié)論.
解答: (Ⅰ)解:由f(x)=ex-ax得f′(x)=ex-a.
又f′(0)=1-a=-1,∴a=2,
∴f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2.
由f′(x)=0得x=ln2,
當(dāng)x<ln2時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>ln2時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
∴當(dāng)x=ln2時(shí),f(x)有極小值為f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4.
f(x)無(wú)極大值.
(Ⅱ)證明:令g(x)=ex-x2,則g′(x)=ex-2x,
由(Ⅰ)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4>0,即g′(x)>0,
∴當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)>0,即x2<ex
點(diǎn)評(píng):該題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力,考查函數(shù)與方程思想、有限與無(wú)限思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( 。
A、24+
3
B、24+2
3
C、12+4
3
D、12+2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn),則點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)的距離的最小值為( 。
A、
5
B、
6
C、2
3
D、2
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知A={-1,0,1,2},B={1,2,3},則A∩B=( 。
A、{1}
B、{2}
C、{1,2}
D、{-1,0,1,2,3}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知全集I=A∪B中有x個(gè)元素,(∁IA)∪(∁IB)中有y個(gè)元素,若A∩B非空,則A∩B的元素個(gè)數(shù)為( 。
A、yB、xC、x-yD、x+y

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=lnx-ax.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,-2)處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

寫(xiě)出命題“在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直”的逆命題,判斷逆命題的真假并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng),若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,求C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四邊形為邊長(zhǎng)為a的正方形,以D為圓心,DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的圓O交于F,連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn) E.
(1)求證:E為AB的中點(diǎn); 
(2)求線段FB的長(zhǎng).

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