Question

4．若偶函數(shù)y=f（x），x∈R，滿足f（x+2）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2-x²，則方程f（x）=sin|x|在[-10，10]內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為10．

Answer 1

分析 由題意可得偶函數(shù)y=f（x）為周期為4的函數(shù)，f（x）=sin|x|是偶函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為所求．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x），
∴偶函數(shù)y=f（x）為周期為4的函數(shù)，
由x∈[0，2]時(shí)f（x）=2-x²可作出函數(shù)f（x）在[-10，10]的圖象，
同時(shí)作出函數(shù)y=sin|x|在[-10，10]的圖象，交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為所求．
數(shù)形結(jié)合可得交點(diǎn)個(gè)為10，
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性和零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．