【題目】如圖所示,A,B分別是橢圓C:=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn),F為其右焦點(diǎn),2是|AF|與|FB|的等差中項(xiàng),是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng).點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B的任一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A作直線l⊥x軸.以線段AF為直徑的圓交直線AP于點(diǎn)A,M,連接FM交直線l于點(diǎn)Q.

(1)求橢圓C的方程;

(2)試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N,使得直線PQ必過該定點(diǎn)N?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意，用a、c表示出|AF|、|FB，再根據(jù)等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)定義求出a、b、c，進(jìn)而求得橢圓方程。

(2)假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)。設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P，由P再橢圓上，用x0表示y0，再表示出FM的方程，聯(lián)立FM與直線，得交點(diǎn)Q，進(jìn)而求得過定點(diǎn)的坐標(biāo)。

(1)由題意得|AF|=a+c,|FB|=a-c,

即

解得a=2,c=1,∴b2=4-1=3.

∴所求橢圓的方程為=1.

(2)假設(shè)在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N(n,0),使得直線PQ必過定點(diǎn)N(n,0).

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0),由于P點(diǎn)異于A,B,故y0≠0,

由點(diǎn)P在橢圓上,故有=1,

∴. ①

又由(1)知A(-2,0),F(1,0),

∴直線AP的斜率kAP=.

又點(diǎn)M是以線段AF為直徑的圓與直線AP的交點(diǎn),∴AP⊥FM.

∴kAP·kMF=-1kMF=-=-.

∴直線FM的方程y=-(x-1).

聯(lián)立FM,l的方程

得交點(diǎn)Q.

∴P,Q兩點(diǎn)連線的斜率kPQ=, ②

將①式代入②式,并整理得kPQ=,

又P,N兩點(diǎn)連線的斜率kPN=.

若直線QP必過定點(diǎn)N(n,0),則必有kPQ=kPN恒成立,即,

整理得4=-3(x0+2)(x0-n), ③

將①式代入③式,得4×=-3(x0+2)(x0-n),解得n=2,故直線PQ過定點(diǎn)(2,0).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex[ x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線與直線x+y=0垂直，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜﹣ ex在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+be﹣x ， （b∈R），函數(shù)g（x）=2asinx，（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C（ ， ），半徑r= ．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若α∈[0， ），直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長|AB|的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在科普知識(shí)競賽前的培訓(xùn)活動(dòng)中，將甲、乙兩名學(xué)生的6次培訓(xùn)成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖：

（1）若從甲、乙兩名學(xué)生中選擇1人參加該知識(shí)競賽，你會(huì)選哪位？請(qǐng)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)說明理由；
（2）若從學(xué)生甲的6次培訓(xùn)成績中隨機(jī)選擇2個(gè)，記選到的分?jǐn)?shù)超過87分的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，圓O的兩弦AB和CD交于點(diǎn)E，作EF∥CB，并且交AD的延長線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓O于點(diǎn)G．

（1）求證：△DEF∽△EFA；
（2）如果FG=1，求EF的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知p:x2-6x+5≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).

(1)若m=2,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;

(2)若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C1的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系取相同的單位長度，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=﹣2sin（θ+ ）．
（1）把曲線C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C1與C2的交點(diǎn)M（ρ1 ， θ1）的極坐標(biāo)，其中ρ1≤0，0≤θ1＜2π．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).

求證:CD⊥平面PAE.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案