Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

an
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

an+1

an

=

n+1

2n

，由此利用累乘法能求出a_n．
（2）由S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

an，
∴

an+1

an

=

n+1

2n

，∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

2

2

×

3

4

×

4

6

×…×

n

2n-2

=

n

2n+1

．
（2）S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，①

1

2

Sn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1

2n+2

=

1

2

-

1

2n+1

-

1

2n+2

，
∴S_n=1-

1

2n

-

1

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．