Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣9x，函數(shù)g（x）=3x2+a． （Ⅰ）已知直線l是曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線，且l與曲線y=g（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x3﹣9x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣9， f（0）=0，f′（0）=﹣9，直線l的方程為y=﹣9x，
設(shè)l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)（m，n），
g′（x）=6x，g′（m）=6m=﹣9，解得m=﹣ ，
g（m）=﹣9m，即g（﹣ ）= +a= ，
解得a= ；
（Ⅱ）記F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，
F′（x）=3x2﹣6x﹣9，
由F′（x）=0，可得x=3或x=﹣1．
當(dāng)x＜﹣1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；
當(dāng)x＞3時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
可得x=﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）取得極大值，且為5﹣a，
x=3時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值，且為﹣27﹣a，
因?yàn)楫?dāng)x→+∞，F(xiàn)（x）→+∞；x→﹣∞，F(xiàn)（x）→﹣∞．
則方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解的等價(jià)條件為：
5﹣a＞0，﹣27﹣a＜0，
解得﹣27＜a＜5
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率和方程，設(shè)l與曲線y=g（x）相切于點(diǎn)（m，n），求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率可得方程，求得a的值；（Ⅱ）記F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣9x﹣3x2﹣a，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，極值，由題意可得方程f（x）=g（x）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解的等價(jià)條件為極小值小于0，極大值大于0，解不等式即可得到所求范圍．