Question

【題目】如圖（1）所示，在直角梯形ABCD中， ，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖（2）所示．
（1）證明：CD⊥平面A1OC；
（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在圖（1）中，因為 ，E是AD的中點，且 ，

所以BE⊥AC，BE∥CD，

即在圖（2）中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC=O，OA1平面A1OC，OC平面A1OC，

從而BE⊥平面A1OC，又BE∥CD，所以CD⊥平面A1OC

（2）解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且交線為BE，

又由（1）知，BE⊥OA1，所以O(shè)A1⊥平面BCDE，

如圖，以O(shè)為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè) ，所以 ，

得 ．

設(shè)平面A1BC的法向量 ，平面A1CD的法向量 ，

平面A1BC與平面A1CD的夾角為θ，

則 得 ，取 ，同理，取 ，

從而 ，

即平面A1BC與平面A1CD所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）BE⊥平面A1OC，又BE∥CD，即可證明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，以O(shè)為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求平面A1BC與平面A1CD所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．