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12.設(shè)0<a≤54,若滿足不等式|x-a|<b的一切實(shí)數(shù)x,亦滿足不等式|x-a2|<12,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析 由題意可得b>0,求出這兩個(gè)不等式的解集,由題意可得 a2-12≤a-b,且 a+b≤a2+12,0<a≤54.由此可得b小于或等于-a2+a+12的最小值,且b小于或等于 a2-a+12的最小值,由此求得實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解答 解:解:由題意可得b>0是不用求的,否則|x-a|<b都沒解了.
故有-b<x-a<b,即a-b<x<a+b.
由不等式|x-a2|<12得,-12<x-a212,即 a2-12<x<a2+12
第二個(gè)不等式的范圍要大于第一個(gè)不等式,這樣只要滿足了第一個(gè)不等式,
肯定滿足第二個(gè)不等式,命題成立.
故有 a2-12≤a-b,且 a+b≤a2+12,0<a≤54
化簡(jiǎn)可得 b≤-a2+a+12,且b≤a2-a+12
由于-a2+a+12=-(a-122+34∈[316,34],故 b≤316
由于 a2-a+12=(a-122+14∈[14,1316].故 b≤14
綜上可得 0<b≤316

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域,函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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同步練習(xí)冊(cè)答案
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