已知向量
m
=(sinx,1)
,
n
=(
3
cosx,
1
2
)
,函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T及單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A為銳角,a=2
3
,c=4且f(A)是函數(shù)f(x)在[0,
π
2
]
上的最大值,求△ABC的面積S.
(1)∵向量
m
=(sinx,1)
n
=(
3
cosx,
1
2
)
,
m
+
n
=(sinx+
3
cosx,
3
2
),
∴f(x)=(
m
+
n
)•
m
=sin2x+
3
sinxcosx+
3
2

=
1
2
(1-cos2x)+
3
2
sin2x+
3
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x+2=sin(2x-
π
6
)+2,
∵ω=2,∴T=
2
=π;
令2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),解得:kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
(k∈Z),
則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
](k∈Z);
(2)由(1)得f(A)=sin(2A-
π
6
)+2,
∵A∈[0,
π
2
],∴2A-
π
6
∈[-
π
6
,
6
],
∴-
1
2
≤sin(2A-
π
6
)≤1,即
5
2
≤f(A)≤3,
∴當(dāng)2A-
π
6
=
π
2
,即A=
π
3
時(shí),f(A)的最大值為3,
又a=2
3
,c=4,cosA=
1
2

∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得:12=b2+16-4b,即b2-4b+4=0,
整理得:(b-2)2=0,解得:b=2,
則S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
×2×4×
3
2
=2
3
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知等差數(shù)列的首項(xiàng)公差分別是等比數(shù)列
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列對(duì)任意正整數(shù)均有成立,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長(zhǎng)為20cm,求此三角形的各邊長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=2cosx•sin(x+
π
3
)+sinx•(cosx-
3
sinx)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A、B、C的對(duì)邊,若f(C)=1,c=
2
,求△ABC面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若∠A=120°,c=3,面積S=
15
3
4
,則a=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在直角三角形ABC中,斜邊BC為10,以BC中點(diǎn)為圓心,作半徑為3的圓,分別交BC于P、Q兩點(diǎn),設(shè)L=|AP|2+|AQ|2+|PQ|2,試問(wèn)L是否為定值?如果是定值,求出定值,反之說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(2a-b)cosC=c•cosB,△ABC面積S=10
3
,c=7.
(1)求C;
(2)求a,b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊,∠A=60°,b=1,△ABC的面積S△ABC=
3
,則
a+b+c
sinA+sinB+sinC
的值等于( 。
A.
2
3
39
B.
26
3
3
C.
8
3
3
D.2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

數(shù)列{an}中,Sn=n2,某三角形三邊之比為a2:a3:a4,則該三角形最大角為_(kāi)_____.

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同步練習(xí)冊(cè)答案