Question

已知函數(shù)，，其中a∈R．

（1）若0<a≤2，試判斷函數(shù)h(x)=f (x)+g (x) 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)函數(shù) 若對任意大于等于2的實數(shù)x1，總存在唯一的小于2的實數(shù)x2，使得p (x1) = p (x2) 成立，試確定實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）h (x)為單調(diào)減函數(shù)．證明：由0<a≤2，x≥2，可得

==．

       由 ，

且0<a≤2，x≥2，所以．從而函數(shù)h(x)為單調(diào)減函數(shù)．  （亦可先分別用定義法或?qū)?shù)法論證函數(shù)在上單調(diào)遞減，再得函數(shù)h(x)為單調(diào)減函數(shù)．）

（2）①若a≤0，由x1≥2，，x2＜2，，

所以g (x1) = g (x2)不成立．                  

②若a＞０，由x＞2時，，

所以p(x)在單調(diào)遞減．從而，即．

（a）若a≥2，由于x＜２時，，

所以p(x)在(－∞,2)上單調(diào)遞增，從而，即．

要使p (x1) = p (x2)成立，只需，即成立即可．

由于函數(shù)在的單調(diào)遞增，且q(4)=0，所以2≤a＜4．                           

（b）若0＜a＜2，由于x＜2時，

所以p(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．從而，

即．

要使p (x1) = p (x2)成立，只需成立，即成立即可．

由0＜a＜2，得 ．故當(dāng)0＜a＜2時，恒成立．      

綜上所述，a的取值范圍為（0，4）．