【題目】如圖， ， 為中點，且平面， .已知.

（1）求直線與所成角；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由且平面，建立以為原點， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向的空間直角坐標系，再根據(jù)，得出與，從而可求出直線與所成角；（2）分別求出平面和平面的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）因為且平面，則以為原點， 為軸正方向， 為軸正方向， 為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵

∴， ， ， ， ， ，且， .

∴， .

∴和的夾角為.

（2）平面的法向量，設(shè)平面的法向量.

由， 且， ，

得，則，解得，

取，則.

∵二面角為銳二面角，記為

∴.

點晴：本題主要考查利用空間向量求二面角，利用空間向量求異面直線所成的角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標系的原點為極點，正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求直線和曲線的直角坐標方程，并指明曲線的形狀；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點， 為坐標原點，且，求.

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【題目】如圖，已知多面體ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．

（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；

（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：x0∈（1，+∞），使得5+|x0|=6．q：x∈（0，+∞），+81x≥a．

（1）若a=9，判斷命題￢p，p∨q，（￢p）∧（￢q）的真假，并說明理由；

（2）設(shè)命題r：x0∈R，x02+2x0+a-9≤0判斷r成立是q成立的什么條件，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，動點M（2，t）（）.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求以OM為直徑且截直線所得的弦長為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，證明線段ON的長為定值，并求出這個定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”中最重要的一種。在其第七章中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等？”意思是植物蒲發(fā)芽的第一天長高三尺，植物莞發(fā)芽的第一天長高一尺。蒲從第二天開始每天生長速度是前一天的一半，莞從第二天開始每天生長速度為前一天的兩倍。問這兩種植物在何時高度相同？

在此問題中，蒲和莞高度相同的時刻在( )

A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點到直線的距離為.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)設(shè)點是拋物線上的動點，若以點為圓心的圓在軸上截得的弦長均為4，求證：圓恒過定點.

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【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，為棱上一點，且平面.

（1）證明：為中點；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形中， ， 與交于點，現(xiàn)將沿折起得到三棱錐， ， 分別是， 的中點.

(1)求證： ；

(2)若三棱錐的最大體積為，當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳角時，求二面角的正弦值.

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