Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)為圓心的圓在軸上截得的弦長(zhǎng)均為4，求證：圓恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線距離公式得到關(guān)于實(shí)數(shù)p的方程，解方程可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

(2)設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由題意結(jié)合勾股定理有，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程整理變形可得，該方程對(duì)于任意的均成立，則據(jù)此可得圓過一定點(diǎn)為.

試題解析：

(1)由題意， ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

由點(diǎn)到直線的距離公式，得，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

(2)設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為，

所以，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ，

化簡(jiǎn)得： ，①

對(duì)于任意的，方程①均成立，

故有： 解得： ，所以，圓過一定點(diǎn)為.