Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=

|lg|x-1||，(x≠1) 0，(x=1)

，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0有7個(gè)不同的實(shí)根，則必有（　　）

• A、b＜0且c=0
• B、b＞0且c＜0
• C、b＜0且c＞0
• D、b≥0且c=0

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先畫(huà)出f（x）的圖象，觀察圖形可知若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解滿(mǎn)足的條件，然后圖象對(duì)稱(chēng)性求出三個(gè)根即可．

解答： 解：作出f（x）的圖象如圖所示：
設(shè)t=f（x），則方程[f（x）]²+bf（x）+c=0等價(jià)為t²+bt+c=0，
由圖可知，只有當(dāng)t=f（x）≥1時(shí)，方程t=f（x）有2個(gè)根．
當(dāng)t=f（x）∈（0，1）時(shí)，t=f（x）有4個(gè)根．
當(dāng)t=f（x）=0時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根．
若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
則等價(jià)為t²+bt+c=0的兩個(gè)根滿(mǎn)足t₁=0或t₂∈（0，1），
則c=0，此時(shí)方程等價(jià)為t²+bt=0，
則t（t+b）=0，另外一個(gè)根t₂=-b∈（0，1），
則-1＜b＜0．
即-1＜b＜0且c=0
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及函數(shù)的圖象與方程之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．