Question

（2010•南充一模）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在x∈[-1，1]上的偶函數(shù)，函數(shù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
①求f（x）的解析式；
②是否存在正整數(shù)a，使f（x）的最大值為12？若存在求出a的值，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)f（x）的圖象上任意點(diǎn)（x，f（x）），求出它關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意給出x的范圍，再代入g（x）的解析式化簡(jiǎn)，再由偶函數(shù)的關(guān)系式求出另外一部分的解析式，最后用分段函數(shù)的形式表示出來(lái)；
（2）先假設(shè)存在，由偶函數(shù)的性質(zhì)確定研究的對(duì)象，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和臨界點(diǎn)，根據(jù)臨界點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系分類討論，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最值，再由題意列出方程求出a的值．

解答：解：（1）設(shè)f（x）的圖象上任意點(diǎn)（x，f（x）），
它關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)（2-x，f（x））在g（x）的圖象上，
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x³，
又∵f（x）是定義在x∈[-1，1]上的偶函數(shù)，
∴f（x）=2ax-4x³，
則f(x)=

-2ax+4x3      (-1≤x≤0) 2ax-4x3          (0＜x≤1)

，
（2）假設(shè)存在正整數(shù)a，使函數(shù)f（x）的最大值為12，
又f（x）為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值
令f′（x）=2a-12x²=0，得x=

a 6

(a＞0)，
若

a b ∈(0，1]，即0＜a≤6

時(shí)：

x∈(0， a 6 ]，f′(x)＞0，f(x)

單調(diào)遞增，

x∈( a 6 ，1]，f′(x)＜0，f(x)

單調(diào)遞減，
則

[f(x)]max=f( a 6 )=2a× a 6 -4( a 6 )3＜2a× a 6 ≤12

故此時(shí)不存在符合題意的a，
若

a 6 ＞1，即a＞6

時(shí)，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
則f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴

[f(x)]max=f(1)=2a-4

，
令2a-4=12，得a=8，
綜上，存在a=8滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶性的綜合應(yīng)用，還考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，涉及了分類討論思想和存在性問(wèn)題等，比較綜合，屬于中檔題．