Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ﹣2x+ln（x+1）（m∈R）．
（Ⅰ）判斷x=1能否為函數(shù)f（x）的極值點，并說明理由；
（Ⅱ）若存在m∈[﹣4，﹣1），使得定義在[1，t]上的函數(shù)g（x）=f（x）﹣ln（x+1）+x3在x=1處取得最大值，求實數(shù)t的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定義域為（﹣1，+∞）， ，令f'（1）=0，得 ； 當 時， ，當x∈ 和（1，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈ 時f′（x）＜0，
于是f（x）在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．
故當 時，x=1是f（x）的極小值點；
（Ⅱ） ．
由題意，當x∈[1，t]時，g（x）≤g（1）恒成立，
易得 ，令 ，
∵h（x）必然在端點處取得最大值，即h（t）≤0
即 ，即 ，
∵m∈[﹣4，﹣1），∴ ，解得， ，
所以t的最大值為
【解析】（Ⅰ）由f′（1）=0，求得m的值，將m的值代入f（x）解析式中，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，看f（x）在x=1的兩側(cè)的單調(diào)性是否相反，如果相反則x=1是函數(shù)f（x）的極值點；（Ⅱ）由題意知，g（x）﹣g（1）≤0在[1，t]上恒成立，構(gòu)造函數(shù) ，根據(jù)m的范圍求出t的取值范圍，得出t的最大值．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．