Question

已知正三角形ABC的邊長為2，D，E分別為邊AB，AC上的點（不與△ABC的頂點重合）且DE∥BC，沿DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，得如圖所示的四棱錐，設AD=x，則四棱錐A-BCED的體積V=f（x）的圖象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：應用題,函數(shù)的性質及應用

分析：列出四棱錐A-BCED的體積V=f（x）=

1

3

×（

3

-

3 x2

4

）×

3 x

2

=

1

2

x-

3

8

x³，0＜x＜2，根據(jù)導數(shù)求解判斷．

解答： 解：正三角形ABC的邊長為2，D，E分別為邊AB，AC上的點（不與△ABC的頂點重合）且DE∥BC，沿DE折起，
使平面ADE⊥平面BCED，得如圖所示的四棱錐，設AD=x，
∵正三角形ABC的邊長為2，
∴三角形ABC的面積為

3

4

×4=

3

，
∴梯形BCED的面積：

3

-

x2

4

×

3

，
∵四棱錐A-BCED的高為

3

2

x，
∴四棱錐A-BCED的體積V=f（x）=

1

3

×（

3

-

3 x2

4

）×

3 x

2

=

1

2

x-

3

8

x³，0＜x＜2，
f′（x）=

1

2

-

9

8

x²，
∵f′（x）=

1

2

-

9

8

x²＞0，0＜x＜

2 3

3

，
f′（x）=

1

2

-

9

8

x²＜0

2 3

3

，

2 3

3

＜x＜2，
∴根據(jù)導數(shù)的幾何意義可判斷：B圖正確．
故選：B．

點評：本題綜合考察了空間幾何體的性質，計算，幾何導數(shù)，函數(shù) 綜合性較大．