Question

【題目】數(shù)列的各項均為正數(shù)，且的前項和是.

(1)若是遞增數(shù)列，求的取值范圍；

(2)若，且對任意，都有，證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析： 由題意先證明，然后利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合條件證明結(jié)果由已知先證明數(shù)列是遞減數(shù)列，由，求出范圍，分別證明、時的情況是否成立

解析：(1)　由a2>a1a1＋－1>a1，

得0<a1<2；①

又由a3>a2a2＋－1>a20<a2<20<a1＋－1<2，

得1<a1<2，②

由①②，得1<a1<2.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)1<a1<2時，1<an<2對任意n∈N*恒成立.

(ⅰ)當(dāng)n＝1時，1<a1<2成立；

(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，1<ak<2成立，

則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝ak＋－1∈[2－1，2)(1，2).

綜上，可知1<an<2對任意n∈N*恒成立.

于是an＋1－an＝－1>0，即{an}是遞增數(shù)列.

所以a1的取值范圍是1<a1<2.

(2)證明　因為a1>2，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>2對任意n∈N*恒成立.

于是an＋1－an＝－1<0，即{an}是遞減數(shù)列.

在Sn≥na1－ (n－1)中，令n＝2，

得2a1＋－1＝S2≥2a1－，解得a1≤3，

故2<a1≤3.

下證：①當(dāng)時，

Sn≥na1－ (n－1)恒成立.

事實上，當(dāng)時，

由于于是

再證：②當(dāng)時不合題意.

事實上，當(dāng)時，設(shè)an＝bn＋2，

則由可得

得得，

于是數(shù)列{bn}的前n項和，

故Sn＝2n＋Tn<2n＋3＝na1＋(2－a1)n＋3.(*)

令則由(*)式得，

只要n充分大，就有Sn<na1－ (n－1)，這與Sn≥na1－ (n－1)矛盾.

所以<a1≤3不合題意.

綜上，有2<a1≤.

于是 ，因為 故

故數(shù)列{bn}的前n項和，

所以Sn＝2n＋Tn<2n＋1.