Question

過點P（-4，4）作直線l與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若直線l的斜率為-

1

2

，求弦AB的長；
（Ⅱ）若一直線與圓O相切于點Q且與x軸的正半軸，y軸的正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)直線l的斜率為-

1

2

，用點斜式求得直線l的方程．設(shè)點O到直線l的距離為d，則d=

4

5

，再利用弦長公式求得AB的值．
（Ⅱ）設(shè)切點Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，可得切線方程，根據(jù)S=

1

2

•

4

x0

•

4

y0

=

8

x0•y0

，再利用基本不等式求得x₀•y₀ 取得最大值的條件，可得點Q的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）因為直線l的斜率為-

1

2

，所以直線l的方程是：y-4=-

1

2

（x+4），即 x+2y-4=0．
設(shè)點O到直線l的距離為d，則d=

4

5

，
所以 (

AB

2

)2=4-d²=4-

14

5

=

4

5

，解得：AB=

4

5

5

．
（Ⅱ）設(shè)切點Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，則切線斜率為-

x0

y0

．
所以切線方程為y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀ ）．
又 x02+y02=4，故 x₀x+y₀y=4．
此時，兩個坐標(biāo)軸的正半軸于切線圍成的三角形面積S=

1

2

•

4

x0

•

4

y0

=

8

x0•y0

．…（13分）
由 x02+y02=4≥2x₀•y₀，∴當(dāng)且僅當(dāng)x₀=y₀=

2

 時，x₀•y₀ 有最大值．
即S有最小值．因此點Q的坐標(biāo)為（

2

，

2

）．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式、弦長公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．