Question

19．已知函數f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（2）設若點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）在函數y=f（x+$\frac{π}{6}$）的圖象上，求φ的值．

Answer 1

分析 （1）根據兩角和與差的正弦函數對已知函數關系式進行化簡得到f（x）=sin（2x+φ），所以結合正弦函數的性質來求最小正周期和值域；
（2）把（ $\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）代入函數y=f（x+$\frac{π}{6}$），根據0＜φ＜π求φ的值．

解答 （1）解：∵f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ），即f（x）=sin（2x+φ），
∴函數f（x）的最小正周期為π，值域為[-1，1]；
（2）解：∵函數y=f（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
又點（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）在函數y=f（x+$\frac{π}{6}$）的圖象上，
∴sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜φ＜π，$\frac{2π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$+φ＜$\frac{5π}{3}$，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{5π}{6}$，
解得：φ=$\frac{π}{6}$．

點評 本小題主要考查三角函數性質和三角函數的基本關系等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力．