Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

a_n．
（1）求證：數列{

n

an

}是等比數列；
（2）設b_n=n（2-S_n），n∈N^*，若集合M={n|b_n≥λ，n∈N^*}恰有5個元素，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列遞推式,等比關系的確定

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，從而數列{

an

n

}是公比為

1

2

的等比數列，首項為

1

2

；
（2）結合等比數列的通項公式可求a_n，利用錯位相減可求s_n，然后利用數列的單調性可求b_n的最大值與最小值，進而可求實數λ的取值范圍．

解答： （　�。┳C明：∵a_n+1=

n+1

2n

a_n，
∴

an+1

n+1

=

1

2

•

an

n

，
∴數列{

an

n

}是公比為

1

2

的等比數列，首項為

1

2

；
（2）解：由（1）知

an

n

=

1

2n

，
∴a_n=

n

2n

，
∴S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

∴

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

兩式相減可得S_n=2-

n+2

2n

因此，b_n=n（2-S_n）=

n(n+2)

2n

，
∴b_n+1-b_n=

-n2+3

2n+1

∴當n=1，b₂-b₁＞0即b₂＞b₁，
n＞2時，b_n+1-b_n＜0即b_n+1-b_n＜0，
∵b₁=

3

2

，b₂=2，b₃=

15

8

，b₄=

3

2

，b₅=

35

32

，b₆=

3

4

∴要使得集合M有5個元素，實數λ的取值范圍為

3

4

＜λ≤

35

32

．

點評：本題主要考查了等比數列的定義及通項公式求解的應用，數列的錯位相減求和方法的應用，及數列單調性在求解數列的最值求解中的應用，試題具有一定的綜合性