Question

已知無窮等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設數(shù)列{b_n}對任意n∈N^*，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a_n成立．
①求數(shù)列{b_n}的通項公式；
②求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件，由等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列性質(zhì)求出公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a_n，得當n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=a_n-1，所以a_nb_n=a_n-a_n-1=2，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
②當n=1時，T1=1×

2

3

=

2

3

，當n≥2時，bnbn+1=

2

2n-1

•

2

2n+1

=

2

2n-1

-

2

2n+1

，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，得a22=a1•a5，
即（1+d）²=1•（1+4d）． …（1分）
∴d=2或d=0．∵d＞0，∴d=2．
∴a_n=2n-1．…（3分）
（2）①∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a_n，
∴當n=1時，b₁=1．…（4分）
當n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=a_n-1，
∴a_nb_n=a_n-a_n-1=2，故bn=

2

2n-1

(n ≥ 2)．…（7分）
∴bn=

1，n=1 2 2n-1 ，n≥2

．…（8分）
②當n=1時，bnbn+1=1×

2

3

=

2

3

，T1=1×

2

3

=

2

3

，…（10分）
當n≥2時，bnbn+1=

2

2n-1

•

2

2n+1

=

2

2n-1

-

2

2n+1

．…（12分）Tn=

2

3

+(

2

3

-

2

5

)+(

2

5

-

2

7

)+…+(

2

2n-1

-

2

2n+1

)=

4

3

-

2

2n+1

．  …（14分）
∵n=1時，上式也適合，
∴Tn=

4

3

-

2

2n+1

 (n∈N *)．…（16分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．