Question

【題目】已知函數(shù)（， ），曲線在處的切線方程為.

（Ⅰ）求， 的值；

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）已知滿足的常數(shù)為.令函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)， ），若是的極值點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）詳見解析；（3）

【解析】試題分析：

(1)由導(dǎo)函數(shù)與切線方程的關(guān)系可得， .

(2)利用題意構(gòu)造新函數(shù) ，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)即可證得 ；

(3)由題意，

當(dāng)時， 無極值，不符合題意；

當(dāng)時， 是函數(shù)的唯一極值點，也是它的唯一最大值點，可得 .

由題意考察函數(shù)，可得的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）的導(dǎo)函數(shù)，

由曲線在處的切線方程為，知， ，

所以， .

（Ⅱ）令 ，則 ，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時， 取得極小值，也即最小值，該最小值為，

所以，即不等式成立.

（Ⅲ）函數(shù)（），則，

當(dāng)時， ，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增， 無極值，不符合題意；

當(dāng)時，由，得，

結(jié)合， 在上的圖象可知，關(guān)于的方程一定有解，其解為（），且當(dāng)時， ， 在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時， ， 在內(nèi)單調(diào)遞減.

則是函數(shù)的唯一極值點，也是它的唯一最大值點，

也是在上的唯一零點，即，則.

所以 .

由于恒成立，則，即，（*）

考察函數(shù)，則，

所以為內(nèi)的增函數(shù)，且， ，

又常數(shù)滿足，即，

所以， 是方程的唯一根，

于是不等式（*）的解為，

又函數(shù)（）為增函數(shù)，故，

所以的取值范圍是.