Question

【題目】已知函數（， ），曲線在處的切線方程為.

（Ⅰ）求， 的值；

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）已知滿足的常數為.令函數（其中是自然對數的底數， ），若是的極值點，且恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）詳見解析；（3）

【解析】試題分析：

(1)由導函數與切線方程的關系可得， .

(2)利用題意構造新函數 ，結合新函數的性質即可證得 ；

(3)由題意，

當時， 無極值，不符合題意；

當時， 是函數的唯一極值點，也是它的唯一最大值點，可得 .

由題意考察函數，可得的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）的導函數，

由曲線在處的切線方程為，知， ，

所以， .

（Ⅱ）令 ，則 ，

當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增，

所以，當時， 取得極小值，也即最小值，該最小值為，

所以，即不等式成立.

（Ⅲ）函數（），則，

當時， ，函數在內單調遞增， 無極值，不符合題意；

當時，由，得，

結合， 在上的圖象可知，關于的方程一定有解，其解為（），且當時， ， 在內單調遞增；當時， ， 在內單調遞減.

則是函數的唯一極值點，也是它的唯一最大值點，

也是在上的唯一零點，即，則.

所以 .

由于恒成立，則，即，（*）

考察函數，則，

所以為內的增函數，且， ，

又常數滿足，即，

所以， 是方程的唯一根，

于是不等式（*）的解為，

又函數（）為增函數，故，

所以的取值范圍是.