△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，sinAsinBsinC=
3
2
（sin2A+sin2B+sin2C）周長(zhǎng)的取值范圍
（1）求角C
（2）若c=1，求當(dāng)周長(zhǎng)最大時(shí)△ABC的面積．
考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理
專題：解三角形
分析：（1）已知等式變形后，利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理求出tanC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由c，sinC的值，利用正弦定理表示出a與b，進(jìn)而表示出三角形周長(zhǎng)y，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)確定出周長(zhǎng)取得最大值時(shí)A的度數(shù)，確定出此時(shí)三角形為等邊三角形，即可求出三角形的面積．
解答： 解：（1）把sinAsinBsinC=
3
2
（sin2A+sin2B+sin2C），變形得：sinC=
3
•
sin2A+sin2B+sin2C
2sinAsinB
，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinC=
3
•
a2+b2-c2
2ab
=
3
cosC，即tanC=
3
，
則C=
π
3
；
（2）∵c=1，sinC=
3
2
，
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
1
3
2
=
2
3
3
，即a=
2
3
3
sinA，b=
2
3
3
sinB，
∴△ABC周長(zhǎng)y=a+b+c=
2
3
3
sinA+
2
3
3
sinB+1=2sin（A+
π
6
）+1，
∵
π
6
＜A+
π
6
＜
5π
6
，∴A=
π
3
時(shí)，周長(zhǎng)最大，
此時(shí)△ABC為等邊三角形，
則S=
1
2
absinC=
1
2
×1×1×
3
2
=
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，右焦點(diǎn)為（
2
，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求證：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；
（3）在（2）的條件下，求△OAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2f′（1）lnx+x2+2f（1）x+
1
4
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-x2+（
5
2
-a）x-
a-1
x
-
1
4
，證明：當(dāng)a≥1時(shí)．對(duì)任意的x∈[0，1），g（1-x）≤g（1+x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

從橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)P向X軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1．A，B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且OP∥AB，|F1A|=
6
+
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓O：x2+y2=2的切線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)以AB為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-λx+λ（λ∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）請(qǐng)問(wèn)，是否存在實(shí)數(shù)λ使f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立？若存在，請(qǐng)求實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知以原點(diǎn)O為中心，F(xiàn)（
5
，0）為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率e=
5
2
．求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|1≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集U=R．
（1）求A∪B；（∁UA）∩B．
（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必須用完）
（1）求出a，b滿足的關(guān)系式；
（2）問(wèn)當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=a•2n-1+
1
6
，則a的值為
 
．

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