【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．
（1）當(dāng) 時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若﹣1≤a≤0，證明：函數(shù)f（x）有且只有一個零點；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

【答案】
（1）解：當(dāng) 時， ．

所以 ，（x＞0）．

令f'（x）=0，得x=2，

當(dāng)x∈（0，2）時，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，

所以函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=2時，f（x）有最小值


（2）解：由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ．

所以當(dāng)a≤0時， ，

函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個零點

因為當(dāng)﹣1≤a≤0時，f（1）=a﹣1＜0， ，

所以當(dāng)﹣1≤a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有零點．

綜上，當(dāng)﹣1≤a≤0時，函數(shù)f（x）有且只有一個零點


（3）解：由（2）知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個零點．

因為函數(shù)f（x）有兩個零點，所以a＞0．

由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．

因為g（0）=﹣1＜0，2a＞0，

所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上只有一個零點，設(shè)為x0．

當(dāng)x∈（0，x0）時，g（x）＜0，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時，g（x）＞0，f'（x）＞0．

所以函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．

要使得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個零點，

只需要函數(shù)f（x）的極小值f（x0）＜0，即 ．

又因為 ，所以2lnx0+x0﹣1＞0，

又因為函數(shù)h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h（1）=0，

所以x0＞1，得 ．

又由 ，得 ，

所以0＜a＜1． …13分

以下驗證當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）有兩個零點．

當(dāng)0＜a＜1時， ，

所以 ．

因為 ，且f（x0）＜0．

所以函數(shù)f（x）在 上有一個零點．

又因為 （因為lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0．

所以函數(shù)f（x）在 上有一個零點．

所以當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在 內(nèi)有兩個零點．

綜上，實數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

下面證明：lnx≤x﹣1．

設(shè)t（x）=x﹣1﹣lnx，所以 ，（x＞0）．

令t'（x）=0，得x=1．

當(dāng)x∈（0，1）時，t'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，t'（x）＞0．

所以函數(shù)t（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)x=1時，t（x）有最小值t（1）=0．

所以t（x）=x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立


【解析】（1）當(dāng) 時， ．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，然后判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ．當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個零點，當(dāng)﹣1≤a≤0時，f（1）=a﹣1＜0， ，推出結(jié)果．（3）由（2）知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上最多有一個零點．說明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ，說明函數(shù)f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；在（x0 ， +∞）上單調(diào)遞增． 要使得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個零點，只需要 ．通過函數(shù)h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，推出0＜a＜1．驗證當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）有兩個零點．證明：lnx≤x﹣1．
設(shè)t（x）=x﹣1﹣lnx，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)．

練習(xí)冊系列答案
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A. 4尺B. 5尺C. 6尺D. 7尺

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產(chǎn)假安排（單位：周）

14

15

16

17

18

有生育意愿家庭數(shù)

4

8

16

20

26


（1）若用表中數(shù)據(jù)所得的頻率代替概率，面對產(chǎn)假為14周與16周，估計某家庭有生育意愿的概率分別為多少？
（2）假設(shè)從5種不同安排方案中，隨機抽取2種不同安排分別作為備選方案，然后由單位根據(jù)單位情況自主選擇． ①求兩種安排方案休假周數(shù)和不低于32周的概率；
②如果用ξ表示兩種方案休假周數(shù)和．求隨機變量ξ的分布及期望．

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