Question

如圖，棱錐的底面是矩形，⊥平面，，為棱上一點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求二面角的余弦值；

（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.

 

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）在棱取三等分點(diǎn)，使，則，⊥平面，

⊥平面，過點(diǎn)作于，連結(jié)，

則，為所求二面角的平面角.

在中，，

，

所以，二面角的余弦值為

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以點(diǎn)到平面的距離等于

到平面的距離，⊥平面，

過點(diǎn)作于，連結(jié)，則，

⊥平面，過點(diǎn)作于，

則，為所求距離，

所以，求點(diǎn)到平面的距離為

解法二：

證：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、

B(4，0，0)、C(4，3，0), 有已知得，

得.

設(shè)平面QAC的法向量為，則，

即，∴，

令，得到平面QAC的一個(gè)法向量為

∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.             

設(shè)二面角P—CD—B的大小為q，依題意可得，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

設(shè)平面PBD的法向量為，則，

即，∴令，得到平面QAC的一個(gè)為法向量為

 ∵，

∴C到面PBD的距離為