Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

bx

lnx

-ax，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn) （e²，f（e²））處的切線方程為 3x+4y-e²=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)b=1時(shí)，若存在 x₁，x₂∈[e，e²]，使 f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）f′(x)=

b(lnx-1)

(lnx)2

-a（x＞0，且x≠1），由題意可得f′（e²）=

b

4

-a=-

3

4

，f（e²）=

be2

2

-ae2=-

1

2

e2，聯(lián)立解得即可．
（II）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=

x

lnx

-ax，f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

-a，由x∈[e，e²]，可得

1

lnx

∈[

1

2

，1]．由f′（x）+a=

lnx-1

(lnx)2

=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，可得[f′（x）+a]_max=

1

4

，x∈[e，e²]．存在 x₁，x₂∈[e，e²]，使 f（x₁）≤f′（x₂）+a成立?x∈[e，e²]，f（x）_min≤f（x）_max+a=

1

4

，對(duì)a分類(lèi)討論解出即可．

解答： 解：（I）f′(x)=

b(lnx-1)

(lnx)2

-a（x＞0，且x≠1），
∵函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn) （e²，f（e²））處的切線方程為 3x+4y-e²=0，
∴f′（e²）=

b

4

-a=-

3

4

，f（e²）=

be2

2

-ae2=-

1

2

e2，
聯(lián)立解得a=b=1．
（II）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=

x

lnx

-ax，f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

-a，
∵x∈[e，e²]，∴l(xiāng)nx∈[1，2]，

1

lnx

∈[

1

2

，1]．
∴f′（x）+a=

lnx-1

(lnx)2

=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
∴[f′（x）+a]_max=

1

4

，x∈[e，e²]．
存在 x₁，x₂∈[e，e²]，使 f（x₁）≤f′（x₂）+a成立?x∈[e，e²]，f（x）_min≤f（x）_max+a=

1

4

，
①當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e²]上為減函數(shù)，則f（x）_min=f(e2)=

e2

2

-ae2≤

1

4

，解得a≥

1

2

-

1

4e2

．
②當(dāng)a＜

1

4

時(shí)，由f′（x）=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

-a在[e，e²]上的值域?yàn)?span id="6611611" class="MathJye">[-a，

1

4

-a]．
（i）當(dāng)-a≥0即a≤0時(shí)，f′（x）≥0在x∈[e，e²]上恒成立，因此f（x）在x∈[e，e²]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（e）=e-ae≥e＞

1

e

，不合題意，舍去．
（ii）當(dāng)-a＜0時(shí)，即0＜a＜

1

4

時(shí)，由f′（x）的單調(diào)性和值域可知：存在唯一x₀∈（e，e²），使得f′（x₀）=0，
且滿足當(dāng)x∈[e，x₀），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈(x0，e2)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（x₀）=

x0

lnx0

-ax₀≤

1

4

，x₀∈（e，e²）．
∴a≥

1

lnx0

-

1

4x0

＞

1

lne2

-

1

4e2

＞

1

4

，與0＜a＜

1

4

矛盾．
綜上可得：a的最小值為

1

2

-

1

4e2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．