Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）對(duì)任意x₀∈[0，1]，不等式f（x₀）-m≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[0，1]，使不等式f（x₀）-m≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)可判斷出：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f′（x）≥0，故f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，從而可求得f（x）_max，由m≥f（x）_max即可求得實(shí)數(shù)m的最小值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[0，1]，使不等式f（x₀）-m≤0成立?m≥f（x）_min，由（Ⅰ）知f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，可求得f（x）_min，從而可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2（1+x）-$\frac{2}{1+x}$=$\frac{2x（x+2）}{1+x}$，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f′（x）≥0，故f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=f（1）=4-2ln2，
不等式f（x₀）-m≤0恒成立，等價(jià)于m≥f（x）_max=4-2ln2，
所以m最小值為4-2ln2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x₀∈[0，1]，時(shí)f（x₀）_min=f（0）=1，
若存在x₀∈[0，1]，使不等式f（x₀）-m≤0成立，等價(jià)于m≥f（x）_min=1，
所以m的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，區(qū)分（Ⅰ）對(duì)“任意”x₀∈[0，1]，不等式f（x₀）-m≤0恒成立與（Ⅱ）“存在“x₀∈[0，1]，使不等式f（x₀）-m≤0成立是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查邏輯思維與綜合運(yùn)勢(shì)能力，屬于難題．