Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

xlnx，x≥1 lnx x ，0＜x＜1

，若{a_n}是公比大于0的等比數(shù)列，且a₃a₄a₅=1，若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=2a₁，則a₁=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意可得f（x）+f（

1

x

）=0；故f（a₂）+…+f（a₆）=f（a₂）+f（a₆）+f（a₃）+f（a₅）+f（a₄）=0，從而化f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=f（a₁）=2a₁，從而解得．

解答： 解：若x＞1，則0＜

1

x

＜1；
則f（x）=xlnx，f（

1

x

）=

ln 1 x

1 x

=-xlnx；
故f（x）+f（

1

x

）=0；
又∵{a_n}是公比大于0的等比數(shù)列，且a₃a₄a₅=1，
∴a₄=1；
故a₆a₂=a₃a₅=a₄=1；
故f（a₂）+…+f（a₆）=f（a₂）+f（a₆）+f（a₃）+f（a₅）+f（a₄）=0+0+0=0；
故f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₆）=f（a₁）=2a₁，
若a₁＞1，則a₁lna₁=2a₁，則a₁=e²；
若0＜a₁＜1，則

lna1

a1

＜0，故無(wú)解；
故答案為：e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．