14.已知函數(shù)f(x)=lnx,$g(x)=\frac{1}{2}ax+b$.
(Ⅰ)若f(x)與g(x)在x=1處相切,試求g(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)若$φ(x)=\frac{m(x-1)}{x+1}-f(x)$在[1,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)證明不等式:$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln(n+1)}$$<\frac{n}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′(1)=$\frac{1}{2}$a,求出a的值,根據(jù)g(1)=0,求出b的值,從而求出g(x)的解析式即可;
(Ⅱ)求出φ(x)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,求出m的范圍即可;
(Ⅲ)根據(jù)$lnx>\frac{2(x-1)}{x+1}$得到:$\frac{1}{lnx}<\frac{1}{2}•\frac{x+1}{x-1}$,對(duì)x取值,累加即可.

解答 解:(Ⅰ)由于f(x)與g(x)在x=1處相切
且$f'(x)=\frac{1}{x}$∴$f'(1)=1=\frac{1}{2}a$得:a=2------------------(2分)
又∵$g(1)=0=\frac{1}{2}a+b$∴b=-1∴g(x)=x-1------------------(3分)
(Ⅱ)$φ(x)=\frac{m(x-1)}{x+1}-f(x)$=$\frac{m(x-1)}{x+1}-lnx$在[1,+∞)上是減函數(shù),
∴$ϕ'(x)=\frac{{-{x^2}+(2m-2)x-1}}{{x{{(x+1)}^2}}}≤0$在[1,+∞)上恒成立.------------------(5分)
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,由$2m-2≤x+\frac{1}{x}$,x∈[1,+∞)
又∵$x+\frac{1}{x}∈[2,+∞)$∴2m-2≤2得m≤2------------------(7分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得:當(dāng)m=2時(shí):
ϕ(x)=$\frac{2(x-1)}{x+1}-lnx$在[1,+∞)上是減函數(shù),
∴當(dāng)x>1時(shí):ϕ(x)<ϕ(1)=0即$\frac{2(x-1)}{x+1}-lnx$<0
所以$lnx>\frac{2(x-1)}{x+1}$從而得到:$\frac{1}{lnx}<\frac{1}{2}•\frac{x+1}{x-1}$------------------(10分)
當(dāng)x=2時(shí):$\frac{1}{ln2}<\frac{1}{2}•\frac{3}{1}$
當(dāng)x=3時(shí):$\frac{1}{ln3}<\frac{1}{2}•\frac{4}{2}$
當(dāng)x=4時(shí):$\frac{1}{ln4}<\frac{1}{2}•\frac{5}{3}$??
當(dāng)x=n+1時(shí):$\frac{1}{ln(n+1)}<\frac{1}{2}•\frac{n+2}{n}$,n∈N+,n≥2
上述不等式相加得:
$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln(n+1)}$$<\frac{1}{2}(\frac{3}{1}+\frac{4}{2}+\frac{5}{3}+…+\frac{n+2}{n})$
=$\frac{1}{2}(n+\frac{2}{1}+\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+…+\frac{2}{n})$=$\frac{n}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$
即$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}+…+\frac{1}{ln(n+1)}$$<\frac{n}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$.(n∈N+,n≥2)
------------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道綜合題.

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A.3B.2C.1D.0

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