Question

在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C過點P（2，3）．且與橢圓

x2

6

+

y2

2

=1有共同焦點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）是否存在過點M（1，1）的直線與雙曲線交于A、B兩點，并以M為中點．有則求直線方程，無則說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知條件得

c=2 4 a2 - 9 b2 =1 a2+b2=c2

，由此能求出雙曲線方程．
（2）假設(shè)存在存在過點M（1，1）的直線與雙曲線交于A、B兩點，并以M為中點，利用點差法求出直線AB的方程為y=3x-2，代入雙曲線方程x²-

y2

3

=1，得：6x²-12x+7=0，由△＜0，推導出不存在過點M（1，1）的直線與雙曲線交于A、B兩點，并以M為中點．

解答： 解：（1）∵雙曲線C過點P（2，3）．
且與橢圓

x2

6

+

y2

2

=1有共同焦點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
且

c=2 4 a2 - 9 b2 =1 a2+b2=c2

，解得a²=1，b²=3，
∴雙曲線方程為x²-

y2

3

=1．
（2）假設(shè)存在存在過點M（1，1）的直線與雙曲線交于A、B兩點，并以M為中點，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入雙曲線方程x²-

y2

3

=1．
得

3x12-y12=3 3x22-y22=3

，兩式相減，得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴6（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，∴k=

y1-y2

x1-x2

=3，
∴直線AB的方程為：y-1=3（x-1），即y=3x-2，
把y=3x-2代入雙曲線方程x²-

y2

3

=1，
得：6x²-12x+7=0，
∵△=144-4×6×7=-28＜0，
∴不存在過點M（1，1）的直線與雙曲線交于A、B兩點，并以M為中點．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．