Question

如圖（1）是多面體ABC-A₁B₁C₁的直觀圖，該多面體的三視圖如圖（2）．
（1）在棱CC₁（不包括點C、C₁）上是否存在一點E，使EA⊥EB₁，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求二面角A-EB₁-A₁的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導出EA⊥EB₁，B₁E⊥BE，AB⊥EB₁，從而得到EB₁⊥面BB₁C₁C，由此能證明EA⊥EB₁．
（2）取EB₁的中點G，A₁E的中點F，連結FG，設A₁B∩AB₁=O，連結OF，OG，由已知條件得∠OGF為二面角A-EB₁-A₁的平面角，由此能求出二面角A-EB₁-A₁的大�。�

解答： 解：（1）當E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁，
∵CE=EC₁=1，BC=B₁C₁=1，
∴∠BEC=∠B₁E₁C₁=45°，
∴∠BEB₁=90°，∴B₁E⊥BE，
又AB⊥面BB₁C₁C，EB₁?面BB₁C₁C，
∴AB⊥EB₁，
又BE∩AB=B，∴EB₁⊥面BB₁C₁C，
∴AB⊥EB₂，又BE∩AB=B，
∴EB₁⊥面ABE，EA⊥EB₁．
（2）取EB₁的中點G，A₁E的中點F，連結FG，則FG∥A₁B₁，F(xiàn)G=

1

2

A1B1，
∵A₁B₁⊥EB₁，∴FG⊥EB₁，連結A₁B，AB₁，
設A₁B∩AB₁=O，
連結OF，OG，則OG∥AE，且OG=

1

2

EA，
∵EA⊥EB，∴OG⊥EB，
∴∠OGF為二面角A-EB₁-A₁的平面角，
∵AE=

AC2+CE2

=2，OG=

1

2

AE=1，
∴FG=

1

2

A1B1=

2

2

，OF=

1

2

BE=

2

2

，
∴∠OGF=45°，
∴二面角A-EB₁-A₁的大小為45°．

點評：本題考查導面直線垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．