Question

已知數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；

是公差為d的等差數(shù)列；是公差為d²的等差數(shù)列（d≠0）.

（Ⅰ）若a₂₀ = 30，求d；（Ⅱ）試寫出a₃₀關(guān)于d的關(guān)系式，并求a₃₀的取值范圍：

（Ⅲ）續(xù)寫已知數(shù)列，可以使得是公差為d³的等差數(shù)列，請你依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列，提出同（Ⅱ）類似的問題，（（Ⅱ）應(yīng)當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意：a₁₀ = 1 + 9·1 = 10，

      a₂₀ = a₁₀ + 10d = 10 + 10d

         則 10 + 10d = 30，

        ∴d = 2.

（Ⅱ）∵a₃₀ = a₂₀ + 10d ²， a₂₀ = 10 + 10d,

        

   ， 

    當時，

（Ⅲ）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{a_n}，其中是首項為1公差為1的等差數(shù)列.

當n≥1時，數(shù)列是公差為d ⁿ的等差數(shù)列.

研究的問題可以是：

試寫出a_10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式，并求a_10(n+1)的取值范圍.…

研究的結(jié)論可以是：由a₄₀ = a₃₀ + 10d³ = 10 (1+d + d² + d³)，

      依次類推可得   a_10(n+1) = 10 (1+d + d² +…+d ⁿ)

                           = ，

      當d > 0時，a_10(n+1)的取值范圍為等.