已知動圓過定點F(0,2)，且與定直線l：y＝－2相切．

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(2)若AB是軌跡C的動弦，且AB過點F(0,2)，分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設兩切線交點為Q，求證：AQ⊥BQ.


(1)解析：依題意，圓心的軌跡是以F(0,2)為焦點，l：y＝－2為準線的拋物線，

因為拋物線焦點到準線的距離等于4，

所以圓心的軌跡方程是x2＝8y.

(2)證明：因為直線AB與x軸不垂直，

設AB：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.

拋物線方程為y＝x2，求導得y′＝x.

所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是k1＝x1，k2＝x2，

k1·k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.

所以AQ⊥BQ.


練習冊系列答案
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設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點A(0,2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________．

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A.         B.        C.        D.

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垂直于直線y＝x＋1且與圓x2＋y2＝1相切于第一象限的直線方程是(　　)

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