Question

12．已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓${C_1}：{x^2}+{y^2}-6x+5=0$相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)：若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx，通過(guò)聯(lián)立直線l與圓C₁的方程，利用根的判別式大于0、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)聯(lián)立直線L與圓C₁的方程，利用根的判別式△=0及軌跡C的端點(diǎn)與點(diǎn)（4，0）決定的直線斜率，即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），
∵點(diǎn)M為弦AB中點(diǎn)即C₁M⊥AB，
∴${k_{{C_1}M}}•{k_{AB}}=-1$即$\frac{y}{x-3}•\frac{y}{x}=-1$，
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為${（{x-\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{9}{4}（{\frac{5}{3}＜x≤3}）$；
（2）由（1）知點(diǎn)M的軌跡是以$C（{\frac{3}{2}，0}）$為圓心$r=\frac{3}{2}$為半徑的部分圓弧EF（如圖所示，不包括兩端點(diǎn)），且$E（{\frac{5}{3}，\frac{{2\sqrt{5}}}{3}}）$，$F（{\frac{5}{3}，-\frac{{2\sqrt{5}}}{3}}）$，又直線L：y=k（x-4）過(guò)定點(diǎn)D（4，0），
當(dāng)直線L與圓C相切時(shí)，由$\frac{{|{k（{\frac{3}{2}-4}）-0}|}}{{\sqrt{{k^2}+{1^2}}}}=\frac{3}{2}$得$k=±\frac{3}{4}$，又${k_{DE}}=-{k_{DF}}=-\frac{{0-（{-\frac{{2\sqrt{5}}}{3}}）}}{{4-\frac{5}{3}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{7}$，
結(jié)合上圖可知當(dāng)$k∈\left\{{-\frac{3}{4}，\frac{3}{4}}\right\}∪[{-\frac{{2\sqrt{5}}}{7}，\frac{{2\sqrt{5}}}{7}}]$時(shí)，直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求軌跡方程、直線與曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．