Question

18．已知函數(shù)f（x）=2lnx-3x²-11x．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x-2恒成立，求整數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x-2恒成立?2lnx-ax²-2ax+2x+2≤0恒成立．
令h（x）=2lnx-ax²-2ax+2x+2，（x＞0），h′（x）=$\frac{2}{x}-2ax-2x+2=\frac{-2（ax-1）（x+1）}{x}$，
分當(dāng)a≤0，a＞0時(shí)討論即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{x}-6x-11$，f′（1）=-15，f（1）=-14，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y-（-14）=-15（x-1），即15x+y-1=0為所求．
（2）關(guān)于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x-2恒成立?2lnx-ax²-2ax+2x+2≤0恒成立．
令h（x）=2lnx-ax²-2ax+2x+2，（x＞0），h′（x）=$\frac{2}{x}-2ax-2x+2=\frac{-2（ax-1）（x+1）}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＞0恒成立，h（x）在（0，+∞）遞增，x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，不符合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，∈（0，$\frac{1}{a}$）h′（x）＞0，x∈（$\frac{1}{a}，+∞$）h′（x）＜0，
故h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}，+∞$）遞減，h（x）_max=h（$\frac{1}{a}$）=-2lna+$\frac{1}{a}$≤0，a=1符合題意；
整數(shù)a的最小值為1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．