Question

【題目】凸邊形玫瑰園的個(gè)頂點(diǎn)各栽有1棵紅玫瑰，每兩棵紅玫瑰之間都有一條直小路想通，這些直小路沒有出現(xiàn)“三線共點(diǎn)”的情況——它們把花園分割成許多不重疊的區(qū)域（三角形、四邊形、……），每塊區(qū)域都栽有一棵白玫瑰（或黑玫瑰）.

（1）求出玫瑰園里玫瑰總棵樹的表達(dá)式.

（2）花園里能否恰有99棵玫瑰？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）解法1：玫瑰園的直小路組成一個(gè)凸邊形及其對(duì)角線，易知圖中對(duì)角線有條.又由對(duì)角線無“三線共點(diǎn)”知，對(duì)角線在形內(nèi)的交點(diǎn)有個(gè).下面先求邊形內(nèi)的區(qū)域塊數(shù)，可得.

現(xiàn)取掉對(duì)角線，記與其他對(duì)角線有個(gè)交點(diǎn)，則圖形減少了塊區(qū)域.記剩下的圖形為.

在中取掉對(duì)角線，記在中與其他對(duì)角線（不包括）有個(gè)交點(diǎn)，則圖形減少了塊區(qū)域.記剩下的圖形為.

依此類推，每次都在剩下的圖形中取掉一條對(duì)角線.當(dāng)取掉最后一條對(duì)角線時(shí)，其上再無與其他剩下對(duì)角線的交點(diǎn)，圖形減少了1塊區(qū)域，最后還剩下1塊區(qū)域，有.求和.

從而，.

解法2：在每兩頂點(diǎn)間連一條弧線，新增加了塊弓形區(qū)域，設(shè)想每一塊弓形區(qū)域移栽頂點(diǎn)上的紅玫瑰，則玫瑰的棵樹就是區(qū)域的塊數(shù).這個(gè)問題正是本刊1999年第3期數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題（38）中的一道題，現(xiàn)給出一種新的證法.

考慮與的遞推關(guān)系（如圖所示）.

對(duì)個(gè)點(diǎn)的情況增加一點(diǎn)時(shí)，與前個(gè)點(diǎn)有條連線（上圖中虛線），此時(shí)圖中共有個(gè)對(duì)角線交點(diǎn)，共增加新交點(diǎn)個(gè).由于每一條連線與原邊形中的邊或?qū)�角線有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這些交點(diǎn)便把分成條互不重疊的小線段，每條這樣的小線段都把所在的區(qū)域一分為二，所以，連線就增加了塊區(qū)域.求和

從而，

（2）通項(xiàng)公式可以改寫成

問題轉(zhuǎn)化為方程

的求解.變形，

即

因?yàn)?/span>為正整數(shù)，有.

解得.

所以，當(dāng)時(shí)，玫瑰園恰有99棵玫瑰.