分析:(1)直接由對數式的真數大于0,求解分式不等式得函數的定義域;
(2)由函數單調性的定義證明函數在(1,+∞)上的單調性,然后結合奇函數在對稱區(qū)間上的單調性得函數在(-∞,-1)上的單調性.
解答:解:(1)由
>0,得(x+1)(x-1)>0,
解得:x<-1或x>1.
∴函數f(x)=ln
的定義域為{x|x<-1或x>1};
(2)設任意x
1>x
2>1,
f(x1)-f(x2)=ln-ln=
ln(•)=
ln(x1x2-1)+x2-x1 |
(x1x2-1)+x1-x2 |
.
∵x
1>x
2>1,
∴x
1x
2-1+x
1-x
2>x
1x
2-1+x
2-x
1>0,
∴
0<(x1x2-1)+x2-x1 |
(x1x2-1)+x1-x2 |
<1,
則
f(x1)-f(x2)=ln(x1x2-1)+x2-x1 |
(x1x2-1)+x1-x2 |
<0.
∴f(x
1)<f(x
2).
故f(x)=ln
在(1,+∞)上為減函數;
又f(-x)=
ln=ln=-ln=-f(x).
∴f(x)為奇函數.
則f(x)在(-∞,-1)上為減函數.
綜上,函數f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上為減函數.
點評:本題考查了對數函數定義域的求法,訓練了函數單調性的判斷方法,考查了奇函數在對稱區(qū)間上的單調性,是中檔題.