Question

如圖1，AD是直角△ABC斜邊上的高，沿AD把△ABC的兩部分折成直二面角（如圖2），DF⊥AC于F．
（Ⅰ）證明：BF⊥AC；
（Ⅱ）設∠DCF=θ，AB與平面BDF所成的角為α，二面角B-FA-D的大小為β，試用tanθ，cosβ表示tanα；
（Ⅲ）設AB=AC，E為AB的中點，在線段DC上是否存在一點P，使得DE∥平面PBF？若存在，求

DP

PC

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,直線與平面平行的判定

專題：三角函數的求值,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先利用折疊，把平面問題轉化成空間問題，進一步利用面面垂直轉化成線面垂直和線線垂直．
（2）利用三角函數及定義建立等量關系
（3）存在性問題的確定，先確定結論，然后進行證明，進一步得出結論．

解答： 證明：（Ⅰ）∵AD⊥DB，AD⊥DC，
∴∠BDC是二面角B-DA-C的平面角．
又∵二面角B-DA-C是直二面角，
∴BD⊥DC，
∴BD⊥平面ADC，
∴BD⊥AC，
又DF⊥AC，∴AC⊥平面BDF，∴BF⊥AC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）∠ABF=α⇒tanα=

AF

BF

，
∠BFD=β⇒cosβ=

DF

BF

．
利用三角形相似得：∠ADF=∠DCF=θ⇒tanθ=

AF

DF

，
∴tanθcosβ=

AF

BF

=tanα．
解：（Ⅲ）存在

DP

PC

=

1

2

，使DE∥平面PBF
理由：連接CE交BF于點M，連接PM，則PM∥DE．
∵AB=AC，∴AD=DC，
∴F為AC的中點，而E為AB的中點，
∴M為△ABC的重心，
∴

EM

MC

=

1

2

，∴

DP

PC

=

1

2

．
即在線段DC上存在一點P，此時

DP

PC

=

1

2

，使DE∥平面PBF．
故答案為：（1）略
（2）tanθcosβ=tanα
（3）存在

DP

PC

=

1

2

，使DE∥平面PBF

點評：本題考查的知識要點：面面垂直的性質定理與線面垂直和線線垂直的轉化，三角函數只是在三角形中的應用，直二面角的應用，存在性問題的確定與證明方法．