Question

知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=1，S₉=45．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=

an

3n

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意

S9= 9(a1+a9) 2 =9a5=45 a3=1

，可求得等差數(shù)列的公差d=2，a₁=-3，從而可求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-5；
（2）由于bn=

an

3n

，則

Tn= a1 3 + a2 32 +…+ an-1 3n-1 + an 3n 1 3 Tn= a1 32 ++…+ an-1 3n + an 3n+1

兩式相減即得從而得到Tn=-1-

n-1

3n

．

解答： 解：（1）由于

S9= 9(a1+a9) 2 =9a5=45 a3=1

，故

a5=5 a3=1

，故等差數(shù)列的公差d=2，a₁=-3
故數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-5．…（7分）
（2）由于bn=

an

3n

，則

Tn= a1 3 + a2 32 +…+ an-1 3n-1 + an 3n 1 3 Tn= a1 32 ++…+ an-1 3n + an 3n+1

兩式相減即得：

2Tn

3

=

a1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

an

3n+1

=

a1

3

+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

an

3n+1

=-

2

3

-

2n-2

3n+1

，
從而Tn=-1-

n-1

3n

．…（14分）

點評：本題主要考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列中通項公式和前n項和的求法，屬于中檔題．