Question

若不等式x²+ax+1≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：分類討論當(dāng)x=0時(shí)，1≥0，成立；當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，x+

1

x

+a≥0；當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，x+

1

x

+a≤0，利用函數(shù)y=x+

1

x

，單調(diào)性求解．

解答： 解：∵不等式x²+ax+1≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
∴當(dāng)x=0時(shí)，1≥0，成立．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，x+

1

x

+a≥0，
∵y=x+

1

x

，x∈（0，1]，單調(diào)遞減，
∴最小值為2，
∴2+a≥0，
即a≥-2，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，x+

1

x

+a≤0，
∵y=x+

1

x

，x∈[-1，0），單調(diào)遞減，
∴最大值為-2，
∴-2+a≤0，
即a≤2，
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍．：-2≤a≤2，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式在解決不等式恒成立中的應(yīng)用，屬于中檔題．