Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a₃=6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S_k=110，求k的值；
（3）設(shè)數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為T_n，求T₂₀₁₃的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)，由已知列式求得公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）直接由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得k的值；
（3）利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵

a1=2 a3=a1+2d=6

，
∴d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）∵Sk=ka1+

k(k-1)

2

d=2k+

k(k-1)

2

•2=k2+k=110．
解得k=10或k=-11（舍去）；
（3）∵Sn=

n(2+2n)

2

=n(n+1)，∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T2013=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2013

-

1

2014

)
=1-

1

2014

=

2013

2014

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的求和，考查了裂項(xiàng)相消法，是中檔題．