Question

以下命題：
①若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，則

a

∥

b

；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影為

1

5

；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，則

BC

•

CA

=20；
④若非零向量

a

、

b

滿足|

a

+

b

|=|

b

|，則|2

b

|＞|

a

+2

b

|．
所有真命題的標號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,向量的模,平面向量數(shù)量積的運算

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：①由|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|得出兩向量的夾角為0°或180°，判斷命題正確；
②求出

a

在

b

方向上的投影即可；
③畫出圖形，結(jié)合圖形求出

BC

•

CA

的值即可；
④由|

a

+

b

|=|

b

|，得出2

a

•

b

=-

a

2，由4

b

2＞(

a

+2

b

)2，即得|2

b

|＞|

a

+2

b

|．

解答： 解：對于①，當|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|時，cos＜

a

，

b

＞=±1，兩向量的夾角為0°或180°，
∴

a

∥

b

，命題正確；
對于②，

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影是
|

a

|cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| b |

=

-1×3+1×4

32+42

=

1

5

，∴命題正確；
對于③，△ABC中，如圖所示；
a=5，b=8，c=7，
∴cos＜

BC

，

CA

＞=-

a2+b2-c2

2ab

=-

25+64-49

2×5×8

=-

1

2

，

BC

•

CA

=5×8×（-

1

2

）=-20，∴命題錯誤；
對于④，∵非零向量

a

、

b

滿足|

a

+

b

|=|

b

|，∴

a

2+2

a

•

b

=0，
即2

a

•

b

=-

a

2；
∴4

b

2-(

a

+2

b

)2=-

a

2-4

a

•

b

=-

a

2-（-2

a

2）=

a

2＞0，
∴4

b

2＞(

a

+2

b

)2；
即|2

b

|＞|

a

+2

b

|，∴命題正確．
綜上，正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，解題時應(yīng)對每一個選項進行分析判斷，從而得出正確的結(jié)論．