Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SB=SC=

3

．
（1）求直線SD與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求二面角C-SA-B的大小的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）建立空間坐標系，求出直線SD的方向向量，和平面ABCD的一個法向量，根據(jù)兩個向量的夾角公式線面夾角的正弦，再由同角三角函數(shù)關系求出線面夾角的正切值．
（2）求出兩個平面SAC和SAB的法向量，利用兩個法向量的夾角的余弦值，得到二面角C-SA-B的大小的余弦值

解答： 解：（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，由側面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因為SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB
如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O-xyz，
∵AB=2，BC=2

2

，SB=SC=

3

，
∴A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（0，-

2

，0），D（

2

，-2

2

，0），S（0，0，1），
∵

SD

=（

2

，-2

2

，-1），由平面ABCD的一個法向量為

OS

=（0，0，1），
設直線SD與平面ABCD所成角的為θ，
則sinθ=

| SD • OS |

| SD |•| OS |

=

11

11

，
則cosθ=

110

11

，tanθ=

10

10

，
即直線SD與平面ABCD所成角的正切值為

10

10

．
（2）

SA

=（

2

，0，-1），

SB

=（0，

2

，-1），

SC

=（0，-

2

，-1），
設平面SAC的一個法向量為

m

=（x，y，z），
則由

m • SA =0 m • SC =0

，得：

2 x-z=0 - 2 y-z=0

令z=

2

，則

m

=（1，-1，

2

）是平面SAC的一個法向量；
設平面SAB的法向量為

n

=（a，b，c），
則由

n • SA =0 n • SB =0

，得：

2 a-c=0 2 a-c=0

令c=

2

，則

n

=（1，1，

2

）是平面SAB的一個法向量；
設鈍二面角C-SA-B的平面角為α，
則cosα=-

| m • n |

| m |•| n |

=-

1

2

．

點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關鍵是建立坐標系，寫出要用的點的坐標，進而寫出向量的坐標，然后進行向量的有關運算．