Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=-xⁿ+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范圍；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為

1

2

，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f3(x)=-x3+3x+1以及導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求解函數(shù)f3(x)=-x3+3x+1的最大值，最小值．
（2）通過對(duì)任意x₁，x₂有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求出

1

6

≤a≤

1

2

，求出導(dǎo)數(shù)，通過f₃（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]內(nèi)為減函數(shù)，f₃（x）在[-

a

，

a

]內(nèi)為增函數(shù)，推出|f3(

a

)-f3(-

a

)|≤1，即可求出a的取值范圍．
（3）利用|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為

1

2

，推出-

1

2

≤f4(1)≤

1

2

，-

1

2

≤f4(-1)≤

1

2

，求出-

1

2

≤b≤

1

2

，∴得到b，然后求出a．

解答： 解（1）f3(x)=-x3+3x+1∴

f

′ 3

(x)=-3x2+3…（2分）
∴在（0，1）內(nèi)，

f

′ 3

(x)＞0，在（1，2）

f

′ 3

(x)＜0
∴在（0，1）內(nèi)，f3(x)=-x3+3x+1為增函數(shù)，在（1，2）內(nèi)f3(x)=-x3+3x+1為減函數(shù)，
又∵f（2）=-1＜f（0）=1，
∴函數(shù)f3(x)=-x3+3x+1的最大值為f₃（1）=3，最小值為f₃（2）=-1…（4分）
（2）∵對(duì)任意x₁，x₂有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，∴|f₃（1）-f₃（-1）|≤1
從而有|6a-2|≤1∴

1

6

≤a≤

1

2

…（6分）
又

f

′ 3

(x)=-3x2+3a∴f₃（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]內(nèi)為減函數(shù)，f₃（x）在[-

a

，

a

]內(nèi)為增函數(shù)，只需|f3(

a

)-f3(-

a

)|≤1，則4a

a

≤1
∴a的取值范圍是

1

6

≤a≤

1

3 16

…（10分）
（3）由|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為

1

2

，可得|f4(x)|≤

1

2

，
知：-

1

2

≤f4(1)≤

1

2

①，-

1

2

≤f4(-1)≤

1

2

②，
①加②得

1

2

≤b≤

3

2

，又∵-

1

2

≤f4(0)≤

1

2

∴-

1

2

≤b≤

1

2

，∴b=

1

2

…（14分）
將b=

1

2

代入①②，得0≤a≤0∴a=0…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值，單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．